象牙の塔4階2号室

アスペとADHDの高専生によるブログ(不定期更新)

April 23th

日記

 今日も休息をとるような日だったのだが、普段の睡眠量が少なすぎていまだに眠たい。しかし睡眠時間が諸事情によってけずれない

 それでもゲームから逃げた先にあったチャートの方は昨日よりかは進んでおり、満足ではないけども心は満たされた

復習

 数値計算法、制御工学、電気回路、電気磁気学、情報基礎、応用数学

数値計算法Ⅰ

 f(x) = 0となるxをプログラムで求める

二分法
  1.  a, b \  (a \lt b, f(a)f(b) \lt 0)  をそれぞれ指定( f(a) , f(b) が異符号でかつ[ a, b ] で連続であればf(c) = 0となるcが存在するから )
  2.  c = \frac{a + b}{2}と置く
  3.  f(a)f(c) \lt 0だったらbcで置き換え、それ以外ならac で置き換える
  4. f(c) の値が解に近い値となるが、精度を出す場合は精度が出るまで2の手順から再度行う
挟み撃ち法
  1.  a, b \  (a \lt b, f(a)f(b) \lt 0)  をそれぞれ指定
  2. c = \frac{af(b) = bf(a)}{f(b) - f(a)}と置く
  3.  f(a)f(c) \lt 0だったらbcで置き換え、それ以外ならac で置き換える
  4. f(c) の値が解に近い値となるが、精度を出す場合は精度が出るまで2の手順から再度行う

    制御工学Ⅰ

    ラプラス変換

      t \lt 0の時に0を返し、 t \geq 0の時に区分的に連続である関数f(t) を考える

 ある複素数sに対して\int ^ \infty _ 0f(t)e ^ {st} dtが収束するとき、f(t) ラプラス変換であるF(s) = \mathcal{L} [ f(t) ]は、

\displaystyle{
\mathcal{L} [ f(t) ] = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}dt
}

と定義される。この時、sラプラス演算子と呼ばれる

 (証明省略)f(0) = 0 (初期値が0)であるとき、以下の式が成立する

\displaystyle{
\mathcal{L} [ f'(t) ] = sF(s)\\
\mathcal{L} [ f''(t) ]= s^2F(s)\\
\mathcal{L} [ f'''(t) ]= s^3F(s)\\
\mathcal{L} \left[ \int^t_0f(u)du \right] = \frac{1}{s}\cdot F(s)\\
\mathcal{L} [ k_1f_1(t) + k_2f_2(t) ] = k_1\mathcal{L} [ f_1(t)] + k_2\mathcal{L} [ f_2(t)]\\
}
伝達関数

 入出力関数をそれぞれy(t), u(t) と置き、RL直列回路をL\dot{y} + Ry = uと表す

 このとき、両辺をラプラス変換すると、y(s) = \frac{1}{Ls + R}u(s) という形となる(制御屋はラプラス変換後の関数も小文字、伝達関数は大文字とか言っていたのでここでもそのようにさせてもらう)

 伝達関数P(s) とは、入力のラプラス変換したものと出力のラプラス変換したものの比である

\displaystyle{
P(s) = \frac{u(s)}{y(s)}
}

 前述の例だとP(s) = \frac{1}{Ls + R}である

電気回路B

 図を描くのが面倒なので最低限の情報だけ書く

テブナンの定理

 テブナンの定理とは、直流回路において1入力1出力の電気回路の中身が定電圧源と抵抗を直列接続したもので表されるというものである。これを応用することで複雑な回路を単純化して問題を解く際に取り扱うことができる。筆者の余談だが交流回路に発展させた(計算は同じようにできる)のが鳳・テブナンの定理と呼ばれているものである

電気磁気学Ⅰ

 ベクトル場について解説した後に、ナブラ\nabla = \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}\\ \end{pmatrix}とベクトル場\boldsymbol{A}(x, y, z) = \begin{pmatrix}A _ x\\ A _ y\\ A _ z\\ \end{pmatrix}との演算について考える

ベクトル場

 ベクトル場\boldsymbol{A}というのは「位置を決めたら一つのベクトル場が決まる場」のことでいうなればベクトルからベクトルを返す写像である

\nablaとの内積
\displaystyle{
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + y\frac{\partial A_y}{\partial y} + z\frac{\partial A_z}{\partial z}
}

 これは内積の計算方法をそのまま適応してあげるとわかる

\nablaとの外積
\displaystyle{
\nabla \times \boldsymbol{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\boldsymbol{i} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\boldsymbol{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\boldsymbol{k}
}

なお、\boldsymbol{i}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\boldsymbol{j}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\boldsymbol{k}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

 外積の計算についてはネットで調べてほしい

情報基礎Ⅰ

エントロピー(情報)

 時間が足りない 0101.hatenablog.com

応用数学

定数係数斉次線形微分方程式(二階)

 別の日にまとめるかも...