象牙の塔4階2号室

アスペとADHDの高専生によるブログ(不定期更新)

April 10th 三次方程式を解いてみる/数学書を買う/バイトの面接に行く

日記

 数値計算法の授業、「半径1の円を横に半分に切るには、底面からどのくらいの位置xで切ればいいか」という問題にて、x ^ 3 - 3x + 1=0という3次方程式が出てきた。数値計算法という事で解に近づけていくという方法で工学的に解くことをメインとしててそれはそれで楽しかったのだが、一方で自分はこんなものに頼らずとも計算できるという事を示したかったので「カルダノの方法」で解いてみた。その結果、1の三乗根の大量に出てくる美しい結果が出てきたのだが、同時に実数解でも虚数を用いないと記述できない(1の三乗根の1以外の二つが複素数)という愉快なことになった。このような解はどうも三角関数を用いることで虚数が出てこなくなるらしい。「ビエトの方法」みたいな名前の、三角関数で簡潔に解を記述できる方法を習得したい

 さて、3次方程式とそれから最近は4次方程式も解けるようにはなってきた。私以外の誰でも、一般的な5次以上の方程式は四則演算と冪乗根で解けないのだが、その証明をするのにはガロア理論、もっと基本的なところでは群論の知識が必要となる。群論の知識はほかにも応用されており普通に興味があるので「代数学1 群論入門」を買った。通称「赤雪江」、または「ちいかわ」。前々から図書館で借りて読んでいたこともありそろそろ自分のものにしたかったので購入。

 そのあとはバイトの面接だった。しかしなかなか希望どうりにはいかなかったので、たとえ受かったとしても心配なのと、そもそも自身の胸の内に秘めた陰キャを80%発揮していたので受からなさそうな気がする

タルタリアとカルダノの力を借りる

 \omegaは1の三乗根(三回かけたら1になる数)のうち、1でないものとする。

 x = p + qとおく。x=0は方程式の解ではないため、p + q \neq 0。与式より、

\displaystyle{\begin{align*}
(p+q)^3-3(p+q)+1&=0\\
p^3+3pq(p+q)+q^3-3(p+q)+1&=0\\
p^3+q^3+(p+q)(3pq-3)&=-1
\end{align*}
}

 ここで、この等式を満たす十分条件は以下の二つの式を同時に満たすことである。

\displaystyle{
\begin{eqnarray}
p^3+q^3=-1\label{1.1}\\
3pq-3=0\label{1.2}
\end{eqnarray}
}

\eqref{1.2}より、

\displaystyle{
\begin{align}
pq=1\label{1.3}\\
p^3q^3=1\label{1.4}
\end{align}
}

 \eqref{1.1}\eqref{1.4}より、p ^ 3q ^ 3を解に持つtの二次方程式は、t ^ 2 + t + 1 = 0である。

 これを解き、t=\omega,\omega ^ 2

 pqにどちらの値を入れてもxの値は変化しない。p ^ 3=\omegaq ^ 3=\omega ^ 2とする。

 すると、\eqref{1.3}であるから、(p,q)=(\omega ^ k\sqrt[3]{\omega},\omega ^ {-k}\sqrt[3]{\omega ^ 2})\ (k=0,1,2)となる。

 よって、x=\sqrt[3]{\omega}+\sqrt[3]{\omega ^ 2},\omega ^ 2\sqrt[3]{\omega}+\omega\sqrt[3]{\omega ^ 2},\omega ^ 2\sqrt[3]{\omega}+\omega\sqrt[3]{\omega ^ 2}

 (虚数のルートは怖いのでそのままにしておく)

本日の授業

数値計算法Ⅰ

 イントロダクションと二分法の説明。課題は先ほどの式を計算して二分法しろというものだったが、すでに二分法のプログラムを組んでいたのでそれに計算を投げてしまった。

法学・知財(前期)

 今日はイントロダクションをした後、法、「法治主義」、「法の支配」について深く掘り下げた。

 法は最低限のルールのことであり、制定法(実例法)と慣習法(自然法)に分けられる。前者には「法律」、「条令」、「政令」、「法令」が分類されるが後者はわかりやすい説明がなされなかったので書かない

電気機器

 電磁気学を習っていなかったので、そこの部分からの学習となった。そのため電気機器というよりかは電磁気学だった

 ファラデーが発見したのは磁束と起電力と時間の関係式で、さらに起電力には逆起電力というものが、力学でいう何らかの力に対する抗力よろしく存在しており、そして作用反作用の原理が電圧においても成り立つ。