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November 23th 手間のかかる積分

日記(文量多め) 解析 数学 マニアックな数学

今日の積分

\displaystyle{
\int^1_0\biggl\{\int^2_{2y}y\sqrt{x^2+y^2}dx\biggr\}dy
}

　昨日の積分と同じだが今日は積分順序を変更せずに中から解いてみる。まあ複雑なので順序を入れ替えて解く方が賢い。

　 \int \sqrt{x ^ 2 + A}dx = \frac{1}{2} ( x\sqrt{x ^ 2 +A} + A\ln |x+\sqrt{x ^ 2+A}| ) +C (Cは積分定数)に留意して、

\displaystyle{
\begin{align}
\int^1_0\biggl\{\int^2_{2y}y\sqrt{x^2+y^2}dx\biggr\}dy
&=\int^1_0y\Biggl[\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+y^2}+y^2\ln|x+\sqrt{x^2+y^x2}|)\Biggr]^{x=2}_{x=2y}dy\\
&=\int^1_0y\sqrt{4+y^2}+\frac{y^3}{2}\ln|2+\sqrt{4+y^2}|-\sqrt{5}y^3-\frac{y^3}{2}\ln|2y+\sqrt{5}y|dy\\
&=\int^1_0\frac{y^3}{2}\ln|\frac{2+\sqrt{4+y^2}}{(2+\sqrt{5})y}|dy+\int^1_0y\sqrt{4+y^2}-\sqrt{5}y^3dy\label{eq1}
\end{align}
}

　第一項に対して部分積分(セビセ変形)を行う。これより第一項を考える。

\displaystyle{
\begin{align}
\int^1_0\frac{y^3}{2}\ln|\frac{2+\sqrt{4+y^2}}{(2+\sqrt{5})y}|dy
&=\Biggl[\frac{y^4}{8}\ln|\frac{2+\sqrt{4+y^2}}{(2+\sqrt{5})y}|\Biggr]^1_0-\int^1_0\frac{y^4}{8}(\ln|\frac{2+\sqrt{4+y^2}}{(2+\sqrt{5})y}|)'dy\\
&=\lim_{\epsilon \to +0}\frac{1}{8}\ln\frac{2+\sqrt{4+1}}{2+\sqrt{5}}-\frac{\epsilon^4}{8}\ln\frac{2+\sqrt{4+\epsilon^2}}{(2+\sqrt{5})\epsilon}-\int^1_0\frac{y^4}{8}\Bigl[\ln\bigl(2+\sqrt{4+y^2}\bigr)-\ln\Bigl\{(2+\sqrt{5})y\Bigr\}\biggr]'dy\\
&=\lim_{\epsilon \to +0}\frac{1}{8}\ln1-\frac{\epsilon^4}{8}\ln(2+\sqrt{4+\epsilon^2})+\frac{\epsilon^4}{8}\ln(2+\sqrt{5})+\frac{\epsilon^4}{8}\ln(\epsilon)-\int^1_0\frac{y^4}{8}\frac{\frac{2y}{2\sqrt{4+y^2}}}{2+\sqrt{4+y^2}}-\frac{y^4}{8}\frac{2+\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})y}dy\\
&=\lim_{\epsilon \to +0}\Biggl\{-\frac{\epsilon^4}{8}\ln(2+\sqrt{4+\epsilon^2})\Biggr\}+\frac{\epsilon^4}{8}\ln(2+\sqrt{5})+\frac{\ln(\epsilon)}{\frac{8}{\epsilon^4}}-\int^1_0\frac{y^5}{8(4+y^2+2\sqrt{4+y^2})}-\frac{y^3}{8}dy\label{eq2}\\
\end{align}
}

　第三項に着目する。xを変数とする関数である\frac{1}{x ^ 4}も\ln xも正の数全体で微分可能で\frac{d \ln x}{dx}|_{x=0}\neq 0であるので、ロピタルの定理が使える。これを適応して、

\displaystyle{
\begin{align}
\lim_{\epsilon \to +0}\frac{\ln(\epsilon)}{\frac{8}{\epsilon^4}}
&=\lim_{\epsilon \to +0}\frac{\frac{1}{\epsilon}}{\frac{-40}{\epsilon^5}}\\
&=\lim_{\epsilon \to +0}\frac{-\epsilon^4}{40}\\
&=0
\end{align}
}

　第一項、第二項も共に0なので、結局\eqref{eq2}の式は、

\displaystyle{
\lim_{\epsilon \to +0}\Biggl\{-\frac{\epsilon^4}{8}\ln(2+\sqrt{4+\epsilon^2})\Biggr\}+\frac{\epsilon^4}{8}\ln(2+\sqrt{5})+\frac{\ln(\epsilon)}{\frac{8}{\epsilon^4}}-\int^1_0\frac{y^5}{8(4+y^2+2\sqrt{4+y^2})}-\frac{y^3}{8}dy
=-\int^1_0\frac{y^5}{8(4+y^2+2\sqrt{4+y^2})}-\frac{y^3}{8}dy
}

　\eqref{eq1}における第一項を簡単にすることが出来た。\eqref{eq1}に戻る。

\displaystyle{
\begin{align}
\int^1_0\frac{y^3}{2}\ln|\frac{2+\sqrt{4+y^2}}{(2+\sqrt{5})y}|dy+\int^1_0y\sqrt{4+y^2}-\sqrt{5}y^3dy
&=\int^1_0y\sqrt{4+y^2}-\sqrt{5}y^3dy-\int^1_0\frac{y^5}{8(4+y^2+2\sqrt{4+y^2})}-\frac{y^3}{8}dy\\
&=\int^1_0y\sqrt{4+y^2}+\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)y^3-\frac{y^5}{8(4+y^2+2\sqrt{4+y^2})}dy\label{eq3}
\end{align}
}

　ここで変数変換としてu=\sqrt{4+y ^ 2}とおく。y ^ 2=u ^ 2-4だが積分区間が0 \leq y \leq 1なのでyは正の数であり、y= \sqrt{u ^ 2-4}となる。

　また\frac{du}{dy} = \frac{2y}{2\sqrt{4+y ^ 2}} = \frac{y}{u}で、積分範囲の変化は以下の表の通り。

\displaystyle{
\begin{array}{c|c}
y & 0 \to 1\\
\hline
t & 2 \to \sqrt{5}\\
\end{array}
}

　よって\eqref{eq3}より、

\displaystyle{
\begin{align}
\int^1_0y\sqrt{4+y^2}+\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)y^3-\frac{y^5}{8(4+y^2+2\sqrt{4+y^2})}dy
&=\int^1_0y\Biggl\{\sqrt{4+y^2}+\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)y^2-\frac{y^4}{8(4+y^2+2\sqrt{4+y^2})}\Biggr\}dy\\
&=\int^\sqrt{5}_2u\Biggl\{u+\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)(u^2-4)-\frac{(u^2-4)^2}{8(4+u^2-4+2u)}\Biggr\}du\\
&=\int^\sqrt{5}_2u^2+\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)u^3-\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)4-\frac{u(u-2)^2(u+2)^2}{8u(u+2)}du\\
&=\int^\sqrt{5}_2u^2+\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)u^3-\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)4u-\frac{(u-2)(u^2-4)}{8}du\\
&=\int^\sqrt{5}_2u^2+\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)u^3-\biggl(\frac{1}{8}-\sqrt{5}\biggr)4u-\frac{u^3-2u^2-4u+8}{8}du\\
&=\int^\sqrt{5}_2\frac{5}{4}u^2+\bigl(-\sqrt{5}\bigr)u^3+4\sqrt{5}u-1du\\
&=\Biggl[-\frac{\sqrt{5}}{4}u^4+\frac{5}{12}u^3+2\sqrt{5}u^2-u\Biggr]^\sqrt{5}_2\\
&=-\frac{\sqrt{5}}{4}(25-16)+\frac{5}{12}(5\sqrt{5}-8)+2\sqrt{5}(5-4)-(\sqrt{5}-2)\\
&=-\frac{9\sqrt{5}}{4}+\frac{25\sqrt{5}}{12}-\frac{10}{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}+2\\
&=\frac{(-27+25+24-12)\sqrt{5}}{12}+\frac{-10+6}{3}\\
&=\frac{5\sqrt{5}}{6}-\frac{4}{3}
\end{align}
}

　このようにして解が得られた。因みにここまでで4800文字は越した。

日記

　さてこうして積分してる訳だが今日中に終わらないので明日に引き継ぐ。

　もうとっくに明日の日記を書く時間となってしまったが書く。

　今日(昨日)は昼食にココイチにて手仕込みカツカレーとかそういう名前のやつを食べたのだが、辛いもの好きとしてこればかりは完食しないといけないということで今回は10辛に挑んだ。しかも量も600g。

　さて感想だが、「カレーは飲み物だ！」と心の中で念じながらカレールーを一心不乱に流し込めばある程度何とかなりそう(飲み物込み)だと分かった。しかしスパイスマシマシでやはり辛い！！！完食後に思わずコーヒーシュガーを一気飲みしてしまった(効果すごい)。

　まあただ今回は量を間違えたのでカレールーが無くなったあとのカツとご飯が残ったときもそれはそれで辛かった...。

　あとは知人宅にお邪魔した際にもカレー出されてまあ今日(昨日)はカレーづくし(この話は割愛)。

課題

レポート0 Webサーバの脆弱性

　やってない

レポート2 交流回路の周波数特性

　やってない

レポート8 ソートアルゴリズムの比較

　やってない

レポート7 Raspberry Piを用いたLED制御

　やってない

英語AⅡ 夏休み課題

　やってない

現代文 作文(テスト明けまで)

　やってない

英語AⅡ Workbook Lesson4

　やってない

英語AⅡ Workbook Lesson5

　やってない

現代社会Ⅱ 憲法違反の判決レポート(11/10まで)

　やってない