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May 1st,2022 演習ノート16の邪道

　5月となりました。えー、私は今日も数検の本を買うための外出出来ませんでした。まあ、よく考えたら明日は平日なので登校ですねー、ついでにその本を買うかもしれない...。

出題者の意図を折る(演習ノート16編)

16 次の図形の面積を求めよ。 \text{(1) 曲線} \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t ^ 2\\ y = 1 - t ^ 3 \end{array} \right. (0 \leq t \leq 1) \end{eqnarray} \text{とx軸とで囲まれる図形}

\text{(2) 曲線} \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = t ^ 2\\ y = 3 t - t ^ 3 \end{array} \right. (-\sqrt{3} \leq t \leq \sqrt{3}) \end{eqnarray} \text{が囲む図形}

\text{(3) 曲線} \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = \cos ^ 4t\\ y = \sin ^ 4t \end{array} \right. (0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray} \text{とx,y軸とで囲まれる図形}

方針

　問題見るに図形の面積を求めるために媒介変数を上手く処理することが求められてるらしいですが、私はあいにくその方法を忘れてしまいました...。なので媒介変数を消してそこから只の面積を求める問題に帰結させます。(1)と(2)はシルベスター行列を用いてtを消去。(3)は\cos ^ 2\theta + \sin ^ 2\theta = 1を用います。そこからyの式に変換してxについて積分するといった感じです。

解法

(1)

　tを消した式は以下の行列式(シルベスター行列)で表されます。分からなくても最後にでてくる合理的な式を理解出来ればいいと思います。

 \begin{eqnarray}\begin{vmatrix}
-1&0&1-x&0&0\\
0&-1&0&1-x&0\\
0&0&-1&0&1-x\\
-1&0&0&1-y&0\\
0&-1&0&0&1-y
\end{vmatrix} = 0
 & \Leftrightarrow &
(1-x)
\begin{vmatrix}
0&-1&1-x&0\\
0&0&0&1-x\\
-1&0&1-y&0\\
0&-1&0&1-y
\end{vmatrix} - 
\begin{vmatrix}
-1&0&1-x&0\\
0&-1&0&1-x\\
0&0&1-y&0\\
-1&0&0&1-y
\end{vmatrix} = 0\\
& \Leftrightarrow &
(1-x) ^ 2
\begin{vmatrix}
0&-1&1-x\\-1&0&1-y\\0&-1&0
\end{vmatrix}
+(1-y)
\begin{vmatrix}
-1&1-x\\0&1-y
\end{vmatrix} = 0\\
& \Leftrightarrow &
(1-x)^3-(1-y)^2=0
\end{eqnarray}

はい...長ったらしい式でしたが、まあ(1-x) ^ 3-(1-y) ^ 2=0が得られたら勝ちです。試しに\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t ^ 2\\ y = 1 - t ^ 3 \end{array} \right. \end{eqnarray}を代入するとtの値に関わらず0となることが解ります。

　yについて解き、 y-1 = -\sqrt{(1-x) ^ 3} \Leftrightarrow y = 1 -\sqrt{(1-x) ^ 3}

ここでxの範囲を求めます。今のところ範囲が判っているのはtだけですがx = 1 - t ^ 2を使うことでxの範囲に変換出来ます。幸いにもxをtの関数と見ると単調減少関数なのでtが最大(最小)のときにxが最小(最大)です。つまり0 \leq x \leq 1となります。また、積分するのは1 -\sqrt{(1-x) ^ 3} = yですが、一方、 y = 1 - t ^ 3と表すことが出来るので、同様の議論で0 \leq y \leq 1となることが解り、このことから0 \leq x \leq 1でy \geq 0となります。

従って面積は

\begin{eqnarray}
\displaystyle 
\int ^ 1 _ 0 |y| dx &=& \int ^ 1 _ 0 y dx \\
&=& \int ^ 1 _ 0 1  -\sqrt{(1-x)^ 3} dx \\
&=& \biggl \lbrack x - \frac{2}{5}(1-x) ^ {\frac{5}{2}} \biggr \rbrack ^1 _ 0\\
&=& 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}
\end{eqnarray}
(2)

　さっきと同じようにシルベスター行列かなんかでtを消します。時間がないので省略しますが、「読者への演習問題」とします(言いたかっただけなので解かなくていい)。まあ、解くと最終的に - x ^ 3 + 6 x ^ 2 - 9 x + y ^ 2 = 0 という式が出ます。yについて解くと、y = \pm \sqrt{x} (x-3)。 xの最小値はt=0のときで0、最大値はt=\pm\sqrt{3}のときで3。

　y = \pm \sqrt{x} (x-3)がy = + \sqrt{x} (x-3)とy = - \sqrt{x} (x-3)という2つの式を表していることから2つのグラフに挟まれたところの面積を求めればいいと考えられます。y = + \sqrt{x} (x-3)に関して0 \leq x \leq 3でy \leq 0、y = - \sqrt{x} (x-3)に関して0 \leq x \leq 3でy \geq 0。

従って面積は

\begin{eqnarray}
\displaystyle 
\int ^ 3 _ 0 - \sqrt{x} (x-3) dx - \int ^ 3 _ 0 \sqrt{x} (x-3) dx
&=& -2 \int ^ 3 _ 0 \sqrt{x} (x-3) dx \\
&=& \biggl \lbrack \frac{2}{5}x ^ {\frac{5}{2}} - 2x ^ \frac{3}{2} \biggr \rbrack ^3 _ 0\\
&=& -2 \left( \frac{18}{5}\sqrt{3} - 6\sqrt{3} \right) = \frac{24}{5} \sqrt{3}
\end{eqnarray}
(3)

　\sqrt{x} = \cos ^ 2 t , \sqrt{y} = \sin ^ 2 tと変換します。ここで、\cos ^ 2\theta + \sin ^ 2\theta = 1なので、\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1、これよりy = (1 - \sqrt{x}) ^ 2 となります。当然、y \geq 0となります。

　また、 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}で0 \leq x \leq 1なので、面積は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 
\int ^ 1 _ 0 (1 - \sqrt{x}) ^ 2 dx
&=&  \int ^ 1 _ 0 1 - 2\sqrt{x} + x dx \\
&=& \biggl \lbrack \frac{1}{2}x ^ 2 - \frac{4}{3}x ^ \frac{3}{2} + x \biggr \rbrack ^1 _ 0\\
&=& \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 1  = \frac{1}{6}
\end{eqnarray}

目標

課題

実験レポート

　nil

英語C

　nil

英語表現

　nil

春休み課題

　nil

演習ノートのページ数

　1.5

テスト勉強

　やってないです。ヤバい...。

PC修理

　明日頼みます。

21:00までにブログを始める。

  1. 21:00までに始めた。
  2. 22:00までに始めた。
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  1. 1:10までに寝た。
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1日20単語覚える。

  1. 100%(20/20)
  2. 50%(10/20)
  3. 0%

30単語は書き取る。

  1. 100%(30/30)
  2. 50%(15/30)
  3. 0%