象牙の塔4階2号室・改

アスペとADHDの高専生によるブログ(不定期更新)

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November 25th

日記 大学数学

日記

　今日は気が緩みすぎて集合論とかぐらいしか書けることはしていない。(勉強してないいいいいいいいい)

集合論と言うか論理学というかの話

　例えば、\displaystyle{f\left(\bigcup _ {\lambda\in\Lambda}P _ \lambda\right)}は、

\displaystyle{
\begin{align}
x\in f\left(\bigcup _ {\lambda\in\Lambda}P _ \lambda\right)
&\iff x\in f(\{p\ |\ \exists \lambda\in\Lambda(p\in P_\lambda)\})\\
&\iff x\in \{x'\ |\ \exists p'\in\{p\ |\ \exists \lambda\in\Lambda(p\in P_\lambda)\}(x'=f(p'))\}\\
&\iff \exists p'\in\{p\ |\ \exists \lambda\in\Lambda(p\in P_\lambda)\}(x=f(p'))\\
\end{align}
}

と書ける。しかし、このことを踏まえて\displaystyle{f\left(\bigcup _ {\lambda\in\Lambda}P _ \lambda\right)=\bigcup _ {\lambda\in\Lambda}f(P _ \lambda)}を証明するのは難しそうである。しかし、\exists a\in A(P(a)) (P(a)は aについての文)が、\exists a(a\in A\Rightarrow P(a))の略記になっていることに注意すれば、

\displaystyle{
\begin{align}
x\in f\left(\bigcup _ {\lambda\in\Lambda}P _ \lambda\right)
&\iff \exists p'\in\{p\ |\ \exists\lambda(\lambda\in\Lambda\Rightarrow p\in P_\lambda)\}(x=f(p'))\\
&\iff \exists p(\exists\lambda(\lambda\in\Lambda\Rightarrow p\in P_\lambda)\Rightarrow(x=f(p))\\
\end{align}
}

とできる。そこから先は考え中なのでどうにかしないといけない