象牙の塔4階2号室

アスペとADHDの高専生が日々の活動を記録する

April2nd 16はすごい。~桁のインフレ~

 なかなか自分から言えないですが今日は誕生日でした。17歳、素数です。少し気持ち悪い。16歳だったら2の2の2乗乗なので非常に気持ち良かったんですよ。大体、次に自然数nでnのnのn乗乗と表せるのが3の3の3乗乗。通称指数タワーと呼ばれる積み重ねられた指数の上の部分から計算するきまりなので、3の27乗。7625597485087。それが17。うーん、この割り切れない思い...。かといってやり直したくはないです。やり直させるなら、せめて一歳上げて下さい。
 それはそうと、nのnのn乗乗(nは自然数)が大体何桁になるか気になったので算出してみます。
 n=1,n=2のときは自明でそれぞれ1,2桁
 n=3のときは13桁。7.6掛ける10の12乗で約76兆。
面倒なのでここから文明の利器・Google先生に聴いてみます
 n=4のときは155桁。ここから塵劫記の単位だと間に合わなくなりました。ちなみに塵劫記に載っている最大の単位が無量大数で10の68乗。つまり69桁です。nが1違うだけでこの有り様。
 n=5のときは...あっ、とうとう「Infinity」が出て来やがりました。ちなみにGoogleの語源はgoogolという海外の単位で10の100乗で101桁。n=4では持ちこたえられたんですがね......残念!
 ついでに持っている関数電卓関数電卓アプリも全滅です。
 ならどうするか...桁数を導出しましょう!
具体的には、nのnのn乗乗=10のx乗(xは正の実数)とし、両辺の対数を取って計算するんですよ。簡単ですね。式変形の結果、nのn乗にnの一般対数を掛けるとxが求まることが分かりました。ちなみに桁数はxに1足した数です。
試しにn=4のときの桁数は155.1273578...≒155とさっき求まった値と同じです。
これを元に計算すると、
 n=5のときは2185桁。
 n=6のときは36306桁。
 n=7のときは695975桁。
 n=8のときは15151336桁。
 n=9のときは369693100桁。
 そしてn=10のときはそもそも10のx乗という形になるので、10の10乗桁。すなわち10000000000(100億)桁となるのです。
 ...えー、あっという間にこんな時間になりました。こっちだって忙しいのでここらで終わります。
おやすみなさい。