April 14th 今してた数学を語るだけ - 象牙の塔4階2号室・改

日記

　今日も数学しかしてないという具合であり、外にも出歩いていないため語ることがない

　ここらで数学における完備化についてさっきまでしていたことを語る

　杉浦解析Ⅰより、有理数体のコーシー列となる数列全体の集合 $A$ について、 $(a _ n)+(b _ n)=(a _ n+b _ n),(a _ n)(b _ n)=(a _ nb _ n)$ という感じに数列同士の演算を定めて $a _ n - b _ n\rightarrow 0\ (n \rightarrow 0)$ となる数列を同値とする $A$ の同値類全体の集合を $\mathbb{R}$ とできるらしい

　この杉浦解析Ⅰの文中にて、―ある順序体の完備化をこれと同じようにするとコーシーの収束条件(コーシー列なら収束する)は満たすが、アルキメデスの原理(水に浮かぶ物体には押しのけた水と同じだけの浮力が働く…ではなく任意の正の実数 $a,b$ に対して、 $na>b$ を満たす自然数 $n$ が存在するという定理)は満たさない―というのがコーシーの収束条件とアルキメデスの原理が独立していることを示す例として挙げられてはいたものの、証明が書かれていないためその証明を埋めようとしていた次第である