今日は授業中に学内の図書館に行ったのですが、自分にとっては何の真新しいものもありませんでした。
放課後、昨日より気になる本があったのでその図書館で借りてきました(包絡線が表紙にデザインされているあのシリーズの1つ)。公理的集合論(ZFC)などに関するものなのですが、その中に「ラッセルの逆理」というものが紹介されていたのでそれを題材に(と言っても今日知ったことなので説明に誤りがある可能性もある)書きます。
ラッセルのパラドックスとは？
最初に「ラッセルのパラドックス」の概要ですが、簡単に言うと集合に関するもので、説明として「数学の基礎 集合・数・位相」によると
A={x;x∉x}とする。もしA∈Aなら定義よりA∉Aとなり、もしA∉Aなら定義よりA∈Aとなり、矛盾する。
これを「ラッセルのパラドックス(本ではラッセルの逆理)」と言うらしいです。
噛み砕く
最初見たとき理解出来ずに3時間寝てしまいました。引っかかったポイントを整理します。
そもそも集合Aって何ぞや？
まずAについて、これは集合を要素に持つ集合のことです。例えば袋に入ったミカンを集合とするならば、集合を要素に持つ集合というのは八百屋ですかね。ではAには何が入っているのか。これは「x∉xとなるような集合x」、言い換えると「自身を含まない集合」です。
自身を含まないとはどういうことなのか
自身を含まない集合というのはさっきの「袋のミカン」もそうです。自身を含まない集合というのは「自身を含む集合以外の集合」と言い換えられます。「自身を含む集合」というのが難しいところですが、実は「PHP」という単語はその意味に自身を含んでます。この言葉が指すものはプログラミング言語の一種ですが(内容とは関係ない)、PHPというのは「PHP: Hypertext Preprocessor」の略です...(中身の説明は省く)。はい、なんと定義にその略したい言葉(PHP)自身が含まれているのです！他にも向かい合わせの鏡なんかも間接的に自分自身を含んでいると言い換えられそうです。
論理式を説明する
さて、A={x;x∉x}ですが、Aの取りうるxにはA自身も含まれることに注意しながら読むといいと思われます。もしA∉Aのとき、これはAに含まれるxの条件であるA∉Aを満たすので必ずAが含まれてしまいますが仮定に矛盾します。そしてA∈Aのときはx∉xを満たさないのでAはAに含まれません(A∉A)がこれも仮定に矛盾します。なのでおかしいという訳です。
実際のところ答えは何なのか
自分は習いたての身なので説明出来ませんが、「高校数学の美しい物語」という便利なサイトがこの世にはあって、そこに「ラッセルのパラドックス」が紹介されていたのですが、どうやら答えは「そもそも集合ではない」らしいです。
あと、この問題が提唱されたあとにツェルメロという人物が集合論を公理化することによって一応は解決したらしいです。
最後に
今日はこのような形で発信しましたが、これって時間かなり食われるんですよね...(現在時刻23:20で筋トレも課題も出来ていない)。なのでこういった記事を書くこともこれから先あまりないと思います。
参考文献
「数学の基礎 集合・数・位相 齋藤正彦 書」
