January 25th 陰関数定理許さん - 象牙の塔4階2号室~多様体とは分かり合えない~

タイトル通り「陰関数定理」にまつわる少し苦い経験を述べる回

テスト勉強に追われている最中、別の課題の一つに一日以上費やした挙句その成果を陰関数定理にパーにされてしまった(後述)

陰関数定理に苦しまされたのは三度目。泣きたい

一度目：高専三年生「解析学Ⅱ」期末？試験

通常90点は固い数学で88点をとった原因が陰関数定理だった。多様体を使う高尚なものではなく多変数に限定したものではあったものの陰関数定理の主張を間違たためにその一点で一気に点をひかれてしまった。当時高得点が当たり前だったゆえの悔しさのあまり壁に「陰関数定理を許さない」と墨で書き、引っ越すまでの数年間自室に通じるドアに張り付け、二度とこのようなことが起きないよう誓ったはずだった

二度目：数学科三年「幾何学Ⅰ」期末試験

陰関数定理： $f\colon M\to N$ を $C^\infty$ 級写像、 $q\in N$ としたとき、 $f^{-1}(q)$ の各点が正則点、すなわち任意の $p\in f^{-1}(q)$ に対して微分 $(df)_p$ が全射ならば $f^{-1}(q)$ は $M$ の部分多様体となる。

テストで「ここ出ますよー」と誘導され、自分も一度目の苦い経験から勉強したつもりではいたが、理解が足りていなかったらしく惨敗。演習問題による点数の貯金があったために評価自体は平均的なものに収束したが、問題の箇所の解答は何のひねりもないただの作業だったのが追い打ちをかけた。

三度目：数学科三年「幾何学Ⅲ」期末レポート

経緯としては、昨日昼頃から複数人にて、数時間苦心して解いたはずの小問題1つが、先ほどまで再び数時間かけて検証したところ実は肝心の陰関数定理が使えない状況だったがために解けていなかったということである。

問題は次の通り。

$\mathbb{RP}^n\times\mathbb{R}^{n+1}$ において、 $T=\{(L,v)\mid v\in L\}$ が部分多様体になることを証明せよ。(ただし $\mathbb{RP}^n$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の $1$ 次元部分空間全体とみなす)

すなわち $T$ に入る条件は、 $v$ が直線 $L$ に入ることであり、これより「点と直線の距離」が $0$ になればいいと考えられる。しかし実はこれは巧妙な罠であり、微分 $(df)_p$ で登場する $f$ の偏微分係数について、仮に $p=(v,L)\in T$ とした場合、(他を固定した1変数関数と見なすと) $f$ はその点で最小値をとることから偏微分係数は $0$ になってしまい、結果として正則点がないことが導かれる。従って陰関数定理が使えないことが導出されてしまった。