象牙の塔4階2号室・改

アスペとADHDの高専生によるブログ(不定期更新)

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December 18th

日記 数学

日記

　今日は12時に起床した後、ひたすらにAOJを解いていた記憶ぐらいしかない...。ちなみに今日はTLがM-1グランプリで盛り上がってますが、私はテレビ前でじっとしきれないので食事中しか見てません...。

　今日も勉強の一環として自分用にフーリエ級数展開についてまとめる。

　オイラーの公式より、

\displaystyle{
\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}
}
\displaystyle{
\sin \theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}
}

　昨日の式(フーリエ級数展開)に適用して、

\displaystyle{
\begin{align*}
f(x) &= \frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=0}\left\{a_n\cos \left (\frac{2\pi nx}{T}\right ) + b_n\sin \left (\frac{2\pi nx}{T}\right )\right\}\\
&= \frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=0}\left\{a_n\left ( \frac{e^{\frac{2\pi inx}{T}}+e^{-\frac{2\pi inx}{T}}}{2}\right ) + b_n\left ( \frac{e^{\frac{2\pi inx}{T}}-e^{-\frac{2\pi inx}{T}}}{2i}\right )\right\}\\
&= \frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=0}\left\{\left (\frac{a_n-ib_n}{2}\right )e^{\frac{2\pi inx}{T}}+\left (\frac{a_n+ib_n}{2}\right )e^{-\frac{2\pi inx}{T}}\right\}\tag{1}\label{202212181}\\
\end{align*}
}

　ここで、c _ nを以下のように定める。

\displaystyle{
c_n = \left (\frac{a_n-ib_n}{2}\right )
}
\displaystyle{
\displaystyle{
a_n=\frac{1}{\frac{T}{2}}\int^\frac{T}{2}_{-\frac{T}{2}}f(x)\cos\left (\frac{2\pi nx }{T}\right )dx
}
}
\displaystyle{
\displaystyle{
b_n=\frac{1}{\frac{T}{2}}\int^\frac{T}{2}_{-\frac{T}{2}}f(x)\sin\left (\frac{2\pi nx }{T}\right )dx
}
}

より、

\displaystyle{
\begin{align*}
c_n &= \left (\frac{a_n-ib_n}{2}\right )\\
&= \frac{1}{T}\int^\frac{T}{2}_{-\frac{T}{2}}f(x)\cos\left (\frac{2\pi nx }{T}\right )dx -i\frac{1}{T}\int^\frac{T}{2}_{-\frac{T}{2}}f(x)\sin\left (\frac{2\pi nx }{T}\right )dx
\end{align*}
}

　これより、

\displaystyle{
c_{-n} = c_n = \left (\frac{a_n+ib_n}{2}\right )
}

\displaystyle{
c_0 = \frac{a_n}{2}
}

となるので、 \eqref{202212181}は

\displaystyle{
\begin{align*}
\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=0}\left\{\left (\frac{a_n-ib_n}{2}\right )e^{\frac{2\pi inx}{T}}+\left (\frac{a_n+ib_n}{2}\right )e^{-\frac{2\pi inx}{T}}\right\}
&= \sum^\infty_{n=-\infty}\left (c_ne^{\frac{2\pi inx}{T}}\right )
\end{align*}
}

となる。(複素フーリエ級数展開)

　また、c _ nについて、

\displaystyle{
\begin{align*}
c_n &= \left (\frac{a_n-ib_n}{2}\right )\\
&= \frac{1}{T}\int^\frac{T}{2}_{-\frac{T}{2}}f(x)e ^ {-\frac{2\pi inx }{T}}dx
\end{align*}
}

となる。

課題

レポート0 Webサーバの脆弱性

　やってない

レポート2 交流回路の周波数特性

　やってない

レポート8 ソートアルゴリズムの比較

　やってない

レポート7 Raspberry Piを用いたLED制御

　やってない

レポート4,5 コンピュータ設計演習

　やってない

英語AⅡ 夏休み課題

　やってない

英語CⅡ Workbook Lesson7

　やってない

英語CⅡ Workbook Lesson8

　やってない

現代社会Ⅱ 憲法違反の判決レポート(11/10まで)

　やってない

計測工学Ⅱ レポート

　やってない

計測工学Ⅱ 演習問題

　やってない