象牙の塔4階2号室

アスペとADHDの高専生が日々の活動を記録する

November 27th ほぼ積分の日記ではない何か

 実は部分積分の過程で数式を間違えまして、その結果間違えた議論を40分弱も晒してました...。

今日の積分

\displaystyle{
\iint_D e^\frac{x}{y}dxdy \ (D:0\leq x\leq y^2,\frac{1}{2}\leq  y\leq 1)
}

 今日は演習ノート82の4から。

\displaystyle{
\begin{align}
\iint_D e^\frac{x}{y}dxdy
&=\int^1_\frac{1}{2}\biggl\{\int^{y^2}_0e^\frac{x}{y}dx\biggr\}dy\\
&=\int^1_\frac{1}{2}\Bigl[ye^\frac{x}{y}\Bigr]^{x=y^2}_{x=0}dy\\
&=\int^1_\frac{1}{2}ye^y-ydy\\
&=\Bigl[ye^y-e^y-\frac{y^2}{2}\Bigr]^1_\frac{1}{2}\\
&=\frac{-1}{2}-e^\frac{1}{2}\biggl(\frac{1}{2}-1\biggr)+\frac{1}{8}\\
&=\frac{\sqrt{e}}{2}-\frac{3}{8}
\end{align}
}

日記

 今日はアプライドに言ってパソコンの修理の見積もりをして貰った。

 3万円かかるらしい。来週には頑張って修理に出すことを目標にする。

今日の積分...?謎のコーナー

 私の好きな言葉は「私はあなたの意見には反対だ、だがあなたがそれを主張する権利は命をかけて守る」と「無知の知」。哲学的な傾向があるので大学では哲学にハマってるかもしれない。

 まあそれは置いといて、今日は\displaystyle{\biggl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x ^ 2}\biggr)e ^ x}積分についてつらつら書き綴っていく。

 まず、\displaystyle{\frac{e ^ x}{x}}xに関する積分\displaystyle{\int \frac{e ^ x}{x} dx}を考えてみる。

 

 

 

 

 

 指数関数を含んだ関数の積分計算に関するアプローチとして挙げられるのはe ^ x = t \iff x = \ln tの変数変換だ。dt = e ^ x dxより\displaystyle{dx = \frac{dt}{e ^ x}}で、\displaystyle{\int \frac{1}{\ln t}dt}で良いだろうか。

 

 

 

 

 

 解けない。なら部分積分はどうか。\displaystyle{\int \frac{e ^ x}{x} dx = e ^ x - \int x\biggl(\frac{1}{x} -\frac{1}{x ^ 2}\biggr)e ^ xdx}

 少し計算すれば分かるものの左辺と同じ式が出てきてしまいこれだと求めきれそうにない。

 

 

 

 

 

 解けない。では仕方ないのでマクローリン展開を用いて...

 ここまで来られるとそろそろ都合が悪いので計算を試された方には悪いが茶番は終わりにして、実は先程の関数は高校範囲の記号で表すことが出来ないやべーやつだと知られている。

 しかし\displaystyle{\biggl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x ^ 2}\biggr)e ^ x}積分は高校生で出来るらしい。

\displaystyle{
\begin{align}
\int \biggl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x ^ 2}\biggr)e ^ xdx
&=\int \frac{e^x}{x}dx -\frac{-e ^ x}{x} - \int \frac{e^x}{x}dx\\
&=\frac{e^x}{x} + C
\end{align}
}

(C積分定数)

 1行目にて出てくる\dfrac{e ^ x}{x ^ 2}\dfrac{1}{x ^ 2}積分する側、e ^ x微分する側として部分積分した。

 ここで、積分出来ないヤバいやつ同士が打ち消し合っているのが分かる。これより高校範囲で求めることに成功した(まあ、茶番の時点で導関数として問題の被積分関数が出てたのだが...)。

課題

レポート0 Webサーバの脆弱性

 やってない

レポート2 交流回路の周波数特性

 やってない

レポート8 ソートアルゴリズムの比較

 やってない

レポート7 Raspberry Piを用いたLED制御

 やってない

英語AⅡ 夏休み課題

 やってない

現代文 作文(テスト明けまで)

 やってない

英語AⅡ Workbook Lesson4

 やってない

英語AⅡ Workbook Lesson5

 やってない

現代社会Ⅱ 憲法違反の判決レポート(11/10まで)

 やってない