July 24th ε-δ論法で高専のガバガバ極限を打ち負かす

日記

　今日は起きてからようつべ見て数学して執筆。

　昨日と違うのは今日は数学に関しては進展があったことだ。

数学

　具体的には演習ノートの詰まっていた問題を無理やり「解いた」。「解いた」というのは普通に解いたのではなく予め極限値を定めておいてからのそれに収束するということをε-δ論法を用いて証明することで定めておいた極限値を答えとしたからだ。因みに詰まってた問題は「 $\displaystyle{\lim _ { (x,y) \to (0, \pi ) } x \sin{ \frac{y}{x} } }$ 」で、まあ普通に $-x \leq x \sin{ \frac{y}{x} } \leq x$ なのを利用すれば解けそうだが、多変数のはさみうちの原理は何故か証明なしに用いるのは何となく嫌だったのにそれを証明するスペースがなかったのでなんとか式変形で解こうとしたものの天才的解法が思い浮かばなかったのもあって最終的に強行突破。

2変数の極限の定義

　これは教科書に載ってないことだが $\displaystyle{\lim _ {(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = \alpha}$ の定義は $\forall \epsilon > 0 , \exists \delta > 0 \ s.t.[ \sqrt{ (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 } \lt \delta \Rightarrow | f(x,y) - \alpha | \lt \epsilon ]$ らしい(極限は用いていることから教科書はこれを暗黙の了解としていると信じる)。面倒なので解説はしないが高校で扱う極限の、上記のようなε-δ論法用いた大学数学レベルの定義の解説ならネットにでもいっぱいあるのでそれを参考にしながら見てほしい。

　以下、「解答」を示す。なお、 $-x \leq x \sin {\frac{y}{x} } \leq x$ と抑えられることから今回は極限値を0としてみる。

「解答」

　全ての正の実数 $\epsilon$ に対して $\delta = \epsilon$ として、 $\sqrt{ (x - 0) ^ 2 + (y -\pi) ^ 2 } \leq \sqrt{x ^ 2} = |x| \lt \delta$ (つまり $\sqrt{ (x - 0) ^ 2 + (y -\pi) ^ 2 } \lt \delta$ )と仮定すると $| x \sin{ \frac{y}{x} } - 0 | \leq |x| \lt \delta = \epsilon$ (つまり $| x \sin{ \frac{y}{x} } - 0 | \lt \epsilon$ )が必ず成り立つから $\displaystyle{\lim _ { (x,y) \to (0, \pi ) } x \sin{ \frac{y}{x} } } = 0$ と結論づけた。