June 26th 数学を少し進めたい - 象牙の塔4階2号室・改

　今日は起床からの数学の問題解きながらようつべみてからの外食という昨日と変わらないことをした(ながら作業は脳に悪い)。

悩み

　例えば $\sqrt{1 + x}$ の $n$ 次近似式をもって求めた $\sqrt{0.97}$ の近似値を小数第4位で四捨五入する問題があったとしよう。

　 $x$ が十分に小さい時は $\displaystyle{\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^ 2 }{8} + \frac{x ^ 3 }{16} - \cdots}$ と出来、今回のケースだと $\sqrt{0.97} = \sqrt{1 - 0.03} = 1 - 1.5 \times 10 ^ {(-2)} - 1.125 \times 10 ^ {(-4)} + \cdots$ という感じに出てくる項が0へと近づくから「あー、これは $0.985$ だ」と解るものの、私はそこらへんもうちょっと厳密に行いたかった。しかし力量不足で断念。

　続いては $\displaystyle{\arctan x = \sum ^ \infty _ {n = 0} \frac{(-1) ^ n}{2n + 1 } x ^ {2n + 1} \ \ (|x| \leq 1)}$ の導出である。

　教科書などでは $\displaystyle{ (\arctan x) ^ \prime = \frac{1}{1 + x ^ 2}}$ で、一方 $|x| \leq 1$ の範囲で $\displaystyle{ 1 - x ^ 2 + x ^ 4 - ... = \frac{1}{1 + x ^2}}$ なので $(\arctan x) ^ \prime = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 - \cdots$ となるから両辺積分して...となるが、積分するときに $\displaystyle{\arctan x = \int \sum ^ \infty _ {n = 0} {(-1) ^ n} x ^ {2n} dx = \int \lim _ {R \to \infty} \sum ^ R _ {n = 0} {(-1) ^ n} x ^ {2n} dx}$ を、果たして $\displaystyle{\arctan x = \int \lim _ {R \to \infty} \sum ^ R _ {n = 0} {(-1) ^ n} x ^ {2n} dx = \lim _ {R \to \infty} \int \sum ^ R _ {n = 0} {(-1) ^ n} x ^ {2n} dx}$ としていいのか示されてない、要するに積分と極限の交換についての議論が誤魔化されているのである。積分とは極限を用いて定義されるから、つまるところ極限と極限の交換と言うとその危険性が分かりやすくなる。まあ、今回の場合は出来るらしいが説明出来ないのがモヤっとする。